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La Parabola.

Propiedades: 

 

- Curva plana abierta y de una rama. Se define como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de uno fijo F, llamado foco, y de una recta fija d, llamada directriz. Tiene un vértice y V un eje de simetría que pasa por V y por el foco y es perpendicular a la directriz. La tangente en el vértice de la curva es paralela a la directriz.

 

- Se llama 2p a la longitud de la cuerda que es perpendicular al eje en el foco, p es el parámetro que define la parábola. El vértice como cualquier otro punto equidista de la directriz y el foco p/2.

 

- Los radios vectores del punto O son QN y QE.

 

- La directriz d hace de circunferencia focal de la parábola, en este caso de radio infinito. Según esto la directriz es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco respecto de cada tangente. F’ es el simétrico de E respecto la tangente t.

 

- La tangente en el vértice hace de circunferencia principal, según esto es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentes.

 

 

-La excentricidad es igual a 1 ya que “c” y “a” son infinitos e=c/a=1

 

di ‹ di’          Punto interior

 

d = d’            Punto en la parábola

 

de › de          Punto exterior

 

La tangente en un punto es la bisectriz de los radios vectores.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Construcción de la parábola por puntos.

Se conocen la directriz d, el eje y el foco. El vértice será el pto. medio de AF.

 

1-Se toma un punto cualquiera 1 en el eje y se levanta una perpendicular a él. Con centro F y radio A1 se dibuja un arco que corta a la perpendicular en dos puntos simétricos que son puntos de la parábola.

 

2-Se repite el paso anterior con un segundo punto 2 obteniendo otros dos puntos de la parábola.

 

 

Se sigue tomando los puntos necesarios para definir la parábola.

 

 

 

 

 

Construcción de la parábola dados el eje, el vértice y un punto P de la curva.

 

1-Se traza la tangente en el vértice VN y la paralela al eje PN.

 

2-Se divide PN y VN en un n° de partes iguales, según el procedimiento de división de un segmento en un número de partes iguales descrito en articulo relativo a proporcionalidad.

 

3-El rayo V4 se corta con la paralela por 4 en el pto. M de la curva.

 

Los otros puntos se obtienen de la misma forma.

 

 

 

 

 

 

 

 

Tangentes a la parábola desde un punto exterior.

1-Con centro P se traza la circunferencia de radio PF que corta a la directriz, que hace de circunferencia focal de radio infinito, en los ptos. 1 y 2.

 

2-Se une 1 y 2 con el foco.

 

3-Las mediatrices de 1 F y 2F son las tangentes. Estas cortan a la tangente en el vértice tv en los puntos 3 y 4 que son los pies de las perpendiculares trazadas por el foco de las tangentes.

 

4-Los puntos de tangencia se obtienen trazando por 1 y 2 los radios vectores que son paralelos al eje.

 

 

 

 

 

 

 

Tangentes a la parábola paralelas a una dirección dada.

 

1-Por el foco se traza una perpendicular a la dirección que corta a la directriz en M y a la tangente en el vértice en I.

 

2-La tangente pasa por el punto I siendo paralela a la dirección, y su punto de tangencia T con la curva está en la paralela por M al eje de la curva.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Determinación de los elementos de una parábola conociendo la directriz d y dos puntos A y B de la curva.

 

 

1-Por A y B se trazan las perpendiculares a la directriz d. Se obtienen los puntos A’ y B’.

 

2-Con los arcos AA.’ y BB’ se determina el foco en su punto de intersección.

 

3-La perpendicular por F a d es el eje. El vértice esta en el punto medio de AF.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Determinación de los elementos de una parábola conociendo el foco y dos tangentes.

 

1-Los puntos N y M’ simétricos del foco respecto de las tangentes nos determinan la directriz de la parábola.

 

2-Los puntos N y M, que son los pies de la perpendiculares trazadas por el foco a las tangentes, determinan la recta tangente en el vértice.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Determinación de los elementos de una parábola conociendo el foco y dos puntos A y B de la curva.

 

1-Se unen los puntos A y B con F.

 

2-Sobre los segmentos anteriores se dibujan dos arcos capaces, la tangente común a ambos es la tangente en el vértice tv.

 

3-Las rectas A-N1 y B-N2 son las tangentes a la curva en A y B. El eje pasara por F perpendicular a tv.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Determinación de los elementos de una parábola conociendo la directriz d y dos tangentes t1 y t2.

 

1-Las tangentes cortan a la directriz en los puntos N y M, y forman ángulos α  y β con esta.

 

2-Con vértices en N y M se construyen ángulos iguales al α y β. El punto de intersección de los lados de estos ángulos es el foco.

 

3-La perpendicular a d desde F es el eje, el vértice esta en el punto medio de FS.

 

 

 

 

 

 

 

 

Puntos de intersección de una recta con una parábola.

 

El procedimiento es el mismo que para las otras cónicas.

 

1-Con centro en un punto O cualquiera de la recta se traza una circunferencia que pasa por F, que pasara también por F1, simétrico de F respecto la recta r.

 

2-La recta Fi-F corta a la directriz en el punto Cr, centro radical. Desde Cr se traza la tangente Cr-T, y este segmento se lleva sobre la directriz mediante un arco obteniendo los puntos C y D.

 

3-Las paralelas al eje por C y D cortan a la recta en I e I’, puntos de intersección de la recta con la parábola.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Determinación de los elementos de una parábola conociendo dos tangentes y sus ptos. de contacto.

1-Se unen los puntos de contacto de las tangentes T1 y T2, y se une el punto medio de este segmento con N. La recta MN es la dirección del eje.

 

2-Se traza una perpendicular cualquiera C-C’ a la dirección del eje y por C y C’ paralelas a las tangentes dadas que se cortan en B.

 

3-Si se une B con N se obtiene B’ en la cuerda T1-T2. Por B’ pasa el eje de la parábola, del que ya conocemos la dirección.

 

4-Si por B’ se trazan paralelas a las tangentes se obtiene R y R’, que uniéndolos tenemos el vértice V y su tangente.

 

5-Para obtener el foco se traza por R o R’ perpendiculares a las tangentes respectivas.

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