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Espiral de Arquímedes, espiral logarítmica y Volutas.

 

La Espiral de Arquimedes, obtuvo su nombre del matemático siciliano Arquímedes, quien vivió en el siglo III antes de Cristo. Se define como el lugar geometrico un punto que se desplaza de manera uniforme a lo largo de una recta, a la vez que esta gira alrededor de uno de sus extremos con velocidad angular constante.

 

Son multiples las aplicaciones que ha tenido la espiral de Arquimedes dentro del mundo tecnico, por ejemplo los muelles de espiral que servían para dar cuerda a muchos reloges, los surcos que se grababan en los discos de vinilo, etc.

 

Otro tipo de curva que suele confundirse mucho con la espiral es la Voluta, aunque en realidad se tratan de conceptos diferentes. La voluta es una curva compuesta por arcos de circunferencia, tangentes entre sí, siendo los centros de los arcos los vertices de un segmento o poligono dado. Por tanto partiendo se un segmento se obtendrá la voluta de dos centros, partiendo de un triangulo la voluta de tres centros, de un cuadrilatero voluta de cuatro centros y así sucesivamente.

 

La Espiral de Arquimedes es tambien conocida como espiral aritmética pero existen además otras espirales cuyas construcciones no veremos todas por ser más matemáticas que geométricas. 

 

- La espiral logarítmica, se distingue de la espiral de Arquímedes por el hecho de que las distancias entre su brazos se incrementan en progresión geométrica, mientras que en una espiral de Arquímedes estas distancias son constantes.

 

- La espiral hiperbolica, que es la inversa de la espiral de Arquimedes.

 

- La espiral parabolica o de Fermat, en honor a su descubridor.

 

 

Trazado de la espiral de Arquimedes conociendo el paso.

 

 

 

 

1.- Dividimos el segmento cuya longitud es igual al paso de la espiral deseada en un nº cualquiera de partes iguales, por ejemplo doce, ver división de un segmento en un número de partes iguales , y se trazan desde uno de los extremos las circunferencias concentricas que pasan por todas las divisiones. Cuantas más divisiones mas puntos se obtendran para poder trazar la espiral.

 

 2.- Se dividen las circunferencias en el mismo nº de partes iguales y se trazan los radios respectivos. Ver división de una circunferencia en un numero de partes iguales.

 

3.- Las intersecciones de cada radio con su arcos corresspondientes nos determinan los puntos de la espiral. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Trazado de la espiral de logarítmica.

En esta curva se comprueba que el movimiento de traslación no es uniforme, sino que sigue una progresión geométrica, de tal modo que el paso es variable.

 

 

 Para su construcción se trazan dos ejes perpendiculares entre sí, obteniéndose el punto O donde se cortan.

 

 1.- Se traza un triángulo rectángulo ABO, cuyos catetos formen con la hipotenusa los ángulos que se quieren dejar constantes durante el recorrido del punto generador. Partimos del triángulo escogido ABO.

 

 2.- Por el punto B se traza una perpendicular a la hipotenusa AB, lo que determina sobre el otro eje el punto C por el que, a su vez, se traza otra perpendicular al segmento BC, obteniéndose el punto D sobre el otro eje, y así sucesivamente.

 

3.- Se trazan las mediatrices de los segmentos que contienen los puntos A, B, C, D, etc., y donde éstas corten a las bisectrices de los ángulos rectos que forman la línea poligonal definida por ellos, se obtienen los centros O1, O2, O3, etc., de los diferentes arcos de circunferencia que configuran la espiral. Descritos éstos con sus radios particulares O1A, O2B, O3C, etc., y unidos convenientemente, dan como consecuencia la construcción de la espiral como puede apreciarse en la Figura. 

 

 

 

 

Trazado de la voluta de dos centros.

 

1.- Partimos del llamado paso, que sera igual a la longitud del segmento AB. Desde el punto medio O del segmento AB trazamos un arco de semicircunferencia de diametro AB. 

 

2.- Haciendo centro en A y con radio AB se traza otro arco de semicircunferencia obteniendose el punto C. 

 

3.- Haciendo centro en O y con radio OC se traza otro arco de semicircunferencia obteniendose el punto D. 

 

4.- Haciendo centro en A y con radio AD se traza otro arco de semicircunferencia obteniendose el punto E. 

 

5.- Haciendo centro en O y con radio OEse traza otro arco de semicircunferencia obteniendose el punto F. 

 

Repitiendo el proceso se van consiguiendo los sucesivos brazos de la voluta. Observese la constancia del paso en cada una de las vueltas. 

 

 

 

 

Trazado de la voluta de tres centros.

 

Para su trazado de parte de un triangulo equilatero ABC cuyo lado medira 1/3 del paso deseado. 

 

1.- Haciendo centro en uno de sus vertices se traza un arco con radio igual al lado hasta que corte con las prolongaciones de los lados del triangulo obteniendose el punto D. 

 

2.- Haciendo centro en el vertice siguiente del tiangulo C  se traza otro arco que se inicia el el punto D obtenido anteriormente y termina donde corte  con la prolongacion del otro lado. 

 

3.- Haciendo centro en el vertice siguiente del tiangulo A  se traza otro arco que se inicia el el punto E obtenido anteriormente y termina donde corte  con la prolongacion del otro lado. 

 

4.- Repitiendo el proceso y haciendo siempre centro en los vertices del triangula se obtienen los demas brazos de la voluta. 

 

 

 

 

 

 

Trazado de la voluta de cuatro y más centros.

 

 

 

El proceso de construcción es identico que el de la voluta de tres centros, pero en este caso se parte de un cuadrado cuyo lado medirá 1/4 del paso deseado. 

 

Si se quieren obtener volutas de más centros se partira de un poligono regular con el mismo numero de lados que centros y de lado igual a paso de la voluta entre en numero de centros.

 

 

 

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