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Proporcionalidad.

Sean los dos números a y b, se dice que otra pareja de números  c y d es proporcional a la primera cuando se cumple que los resultados de los cocientes realizados entre los elementos de cada pareja adquieren el mismo valor.

Así:     a / b = c / d

Teorema de Thales.

Dadas dos rectas concurrentes que resultan cortadas por una serie de transversales paralelas entre sí, se cumple la proporcionalidad entre los segmentos que el segundo sistema de rectas paralelas produce en el primer sistema de concurrentes.

Concepto de cuarta proporcional. Construcción gráfica.

Sean los segmentos a, b y c de la figura, un segmento x es cuarta proporcional de los tres anteriores cuando se cumple la relación:     a / b = c / x

Una forma de obtener la magnitud x sería mediante operaciones numéricas midiendo los segmentos. A nivel geométrico se resuelve aplicando el Teorema de Thales antes expuesto, situando los segmentos dados sobre dos rectas que formen un ángulo cualquiera, y a partir de su vértice común, de forma que en una se sitúan los segmentos de una fracción y en la otra el segmento de la otra fracción. Uniendo el extremo a con el de c y trazando una paralela por el otro extremo de b se obtiene E que define el segmento x correspondiente a la cuarta proporcional.

Concepto y obtención gráfica de la  tercera proporcional.

Sean dos segmentos a y b dados, se dice que un segmento x es tercera proporcional de los dos anteriores cuando se cumple la relación:     a / b = b / x

Para obtener gráficamente el segmento x aplicamos el mismo fundamento del caso anterior, situando en una de las dos semirrectas concurrentes los segmentos a y b. En la otra se posiciona otra vez el segmento b, a partir del vértice A. Trazando desde C la paralela a BD se obtiene E, de modo que DE corresponde al segmento x representativo de la tercera proporcional.

Media proporcional o media geométrica.

Un segmento x es media geométrica o proporcional de dos segmentos a y b dados cuando se cumple que:     x² = a · b

Aplicando los teoremas de la altura y el cateto, descritos en el capítulo de triángulos, deducimos los procedimientos gráficos de obtención.

En la figura se ha situado, sobre una recta y a partir de un origen común, los segmentos dados a y b. Se ha trazado una semicircunferencia de diámetro el segmento mayor, así como una perpendicular al diámetro desde el extremo B, obteniendo D. El segmento AD representa el cateto x de un triángulo rectángulo ADC de hipotenusa el segmento dado b (AC), siendo por tanto, el mencionado x representativo de la media proporcional o geométrica entre a y b.

Se demuestra que x / a = b / x, por tanto a · b = x² como queriamos demostrar. Tambien puede demostrarse aplicando el Teorema de la altura.

Aplicaciones de la proporcionalidad.

Dividir un segmento dado en un número de partes iguales.

Sea el segmento AB de la figura el que se desea dividir en un número de partes iguales, por ejemplo cinco.

Nos basamos en el teorema de Thales, llevando a partir del vértice A una semirrecta de inclinación cualquiera. Situamos en la mencionada semirrecta el mismo número de segmentos iguales, de cualquier medida, que partes deseamos obtener en el segmento dado. Se obtiene así un punto B′ que se une con B mediante una recta, paralelas a la cual son las que trazamos desde las divisiones de los segmentos de AB′. De este modo se obtienen en el corte con AB los extremos de la división deseada.

Dividir un segmento dado en un número de partes proporcionales a tres valores numéricos.

Sean los números 2, 3 y 4 los valores a los que deben ser proporcionales los segmentos, objeto de la partición de AB.

Se procede de una forma similar a la descrita en el caso anterior, trazando una semirrecta cualquiera y concurrente en A con el segmento dado AB. Sobre la semirrecta trazada llevamos tres segmentos de medidas, expresadas en centímetros, iguales a los valores aportados para la proporcionalidad a precisar. El extremo B′ del segmento total obtenido se une con B mediante una recta; trazando paralelas a BB′ desde las divisiones obtenidas en AB′ obtenemos unas rectas que cortan al segmento AB dado en los extremos de la división proporcional objeto de nuestro enunciado.

Dados dos segmentos x e y hallar un segmento z que represente gráficamente el resultada del producto de x por y.

El caso planteado es de aplicación para numerosos casos geométricos en los que el resultado final se reduce al producto gráfico de dos segmentos. A continuación procedemos a la deducción del proceso a seguir.

De la lectura del enunciado, deducimos que lo que se pretende obtener es un segmento        z = x · y, lo que puesto de otra forma sería x · y = z · 1; tratando esta expresión la podemos poner como: 1 / x = y / z, con lo cual el segmento z objeto de nuestro caso representa la cuarta proporcional de tres segmentos de medidas 1, x e y.

Sólo restará, para hallar z, aplicar la construcción estudiada en el apartado relativo a la mencionada cuarta proporcional.

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