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-Si tenemos un diámetro cualquiera de la elipse su conjugado será el lugar geométrico de los puntos medios de todas las cuerdas paralelas a él. Los ejes son dos ejes conjugados, y los únicos perpendiculares.

 

 

 

- La bisectriz de los radio vectores es la tangente en ese punto. El simétrico de F respecto la tangente esta en la circunferencia focal. El punto M es el punto medio entre F y Fi’ yesta en la circunferencia principal.

 

- También se puede conseguir la tangente utilizando la circunferencia principal. SI desde el punto medio de los radio vectores dibujamos circunferencias de diámetro PE y PF’, estas son tangentes a la circunferencia principal. Uniendo esos dos puntos de tangencia se consigue la tangente.

 

 

 

Construcción de la elipse por puntos a partir de los ejes.

 

1-Con centro en C o D y radio a se determinan los focos.

 

2-Se marca un punto cualquiera N, y con radio B-N y con centro F’ se traza el arco.

 

3-Con radio A-N y centro F se traza el otro arco que nos da un punto de la elipse.

 

Repitiendo la operación con más puntos entre F y F’ se determinan más puntos de la elipse.

 

 

 

Trazado de la elipse por haces proyectivos a partir de los ejes.

 

 

 

1-Se construye el rectángulo OAEC y se dividen los segmentos OA y AE en el mismo n° de partes, según el procedimiento de división de un segmento en un número de partes iguales descrito en articulo relativo a proporcionalidad.

 

2-Los rayos CI, C2, C3, C4 se cortan con los rayos Dl D2, D3, D4 en puntos de la elipse. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Trazado de la elipse por haces proyectivos a partir de una pareja de ejes conjugados.

 

 

 

Se opera igual que en la figura anterior pero en este caso el rectángulo se transforma en el romboide OAEC.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Trazado de la elipse por envolventes.

 

 

Se basa en que la circunferencia principal es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por cada foco a las tangentes. Las envolventes son las tangentes.

 

1-Se traza la circunferencia principal.

 

2-Se toma un punto P que se une con el foco F, y por el punto P se traza una perpendicular a PF.

 

Repitiendo la operación se obtienen una serie de tangentes que van envolviendo la curva.

 

 

 

Trazado de la elipse por puntos mediante la circunferencia principal y la de diámetro 2b.

 

 

1-Se dibuja la circunferencia principal y la de diámetro 2b.

 

2-Se dibujan varios diámetros que cortaran a las circunferencias anteriores en dos puntos.

 

3-Por esos dos puntos se trazan paralelas a los ejes que se cortaran en un punto de la elipse.

 

 

 

 

 

 

 

Otra construcción de la elipse a partir de una pareja de diámetros conjugados.

 

 

1-Se traza la circunferencia de diámetro AB.

 

2-La perpendicular a AB por en centro O corta a la 
circunferencia en Ci y Dl.

 

3-Se une CI con C y Di con D y se forman los triángulos OC1C y OD1D.

 

4-Los puntos de la elipse se obtienen construyendo triangulo semejantes a estos dos, siendo paralelos los lados.

 

 

 

 

 

 

Tangentes a la elipse desde un punto exterior P, utilizando la circunferencia focal.

 

 

Tenemos que buscar un punto de la circunferencia focal que unido con E resulte ser una cuerda de la circunferencia de centro P que pasa por F.

 

1-Se dibujan la circunferencia focal y la circunferencia con centro en P que pase por el otro foco. Estas se cortan en los puntos 1 y 2.

 

2-Se unen los puntos 1 y 2 con el foco.

 

3-Las mediatrices de esos dos segmentos pasan por P y son las dos tangentes a la elipse.

 

4-Uniendo 1 y 2 con el centro de la circunferencia focal se obtienen los puntos de tangencia.

 

 

 

 

 

Tangentes a la elipse desde un punto exterior P, utilizando la circunferencia principal.

 

 

1-Se dibuja la circunferencia principal y una circunferencia de centro la mitad de PP que pase por P y por el foco.

 

2-Las circunferencias anteriores se cortan en los puntos 1 y 
2, que se unen con el centro de la elipse.

 

3-Se trazan paralelas a las líneas anteriores que pasen por el otro foco, que cortan a la elipse en los dos puntos de tangencia T y T’.

 

 

 

 

 

 

 

 

Tangentes a la elipse paralelas a una dirección dada.

 

 

El prodedimiento es igual que en los casos anteriores, pero hay que tener en cuenta que como las tangentes son paralelas a una direccion, el punto P donde se cortan ahora esta en el infinito, por lo que la circunferencia que tenia centro en P y que pasaba por el foco se convierte ahora en una recta perpendicular a la direccion dada.

 

Determinar los ejes de una elipse a partir de una pareja de ejes conjugados.

 

 

1-Desde el centro O se levanta una perpendicular y se lleva la distancia OA para conseguir el punto P.

 

2-Se une P con C y se prolonga la línea, y con centro en el 
punto medio de PC se dibuja un círculo de diámetro PC.

 

3-Con centro 01 y radio 010 se dibuja un arco que cortara 
a la recta PC en los puntos R y S.

 

4-Uniendo el centro O con los puntos R y S obtenemos la 
dirección de los ejes.

 

5-La magnitud de los ejes son: a=Cl, b=CH

 

 

Puntos de intersección de la elipse con una recta.

 

 

1-Se traza la focal del foco F de radio 2a.

 

2-Se halla FI’, simétrico de F’ respecto r.

 

3-Se traza una circunferencia auxiliar cualquiera de centro O 
en la recta r y que pase por E’. Esta corta a la focal en 1 y 2. 
La línea 1-2 y Fi’-F’ se cortan en el centro radical Cr.

 

4-Desde Cr se trazan tangentes a la focal.

 

5-Los puntos de tangencia Ti y T2 se unen con F obteniéndose los puntos de intersección I1 e 12 de la recta con la elipse. 

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