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La espiral clotoide.

 

La clotoide, también denominada radioide de arcos o espiral de Cornú en honor de Marie Alfred Cornu, es una curva tangente al eje de las abscisas en el origen y cuyo radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella. Es por ello que en el punto origen de la curva, el radio es infinito.

 

La clotoide se puede definir como una curva tal que su radio es inversamente proporcional a su longitud. Su ecuación intrínseca es:

    donde;                          y          

Donde:

 

L : Longitud del origen al punto indicado,

R : Radios en los puntos indicados,

A : Parámetro de la clotoide.

 

Para poder obtener una representación grafica de la clotoide, es necesario conocer sus ecuaciones parametricas, mediante las cuales el cálculo de las coordenadas X e Y pueden realizarse con la ayuda de programas informaticos.

 

La espiral de Cornu tiene la propiedad de que su curvatura en cualquier punto es proporcional a la distancia a lo largo de la curva medida desde el origen. Esta propiedad hace que sea útil como curva de transición en el trazado de autopistas o ferrocarriles, puesto que un vehículo que siga dicha curva a velocidad constante tendrá una aceleración angular constante.

 

 

Parámetro A.

 

a) Consideraciones generales.

 

- Por definición, en las clotoides la curvatura varía gradualmente desde cero (0) en la tangente, hasta un valor máximo correspondiente al de la curva circular espiralizada, ya que el radio de la curva, en cualquier punto de la espiral, varía con la distancia desarrollada a lo largo de la misma, manteniendo su parámetro A constante. Es decir, aún cuando el radio y la longitud de los distintos puntos de la clotoide tienen diferentes valores, estos están ligados entre sí, de modo que su producto es un valor constante, pudiéndose fácilmente calcular uno de ellos cuando se conoce el valor del otro;

 

- Las clotoides de parámetro A grande, aumentan lentamente su curvatura y, por consiguiente, son aptas para la marcha rápida de los vehículos. Las espirales de parámetro A pequeño aumentan rápidamente su curvatura y, por consiguiente, se utilizan para velocidades de marcha reducida;

 

- El parámetro A, al fijar el tamaño de la clotoide, fija la relación entre R (radio), L (longitud) y θ (ángulo central de la espiral).

 

b) Cálculo.

 

Si en la fórmula A2=RL hacemos R=L, entonces: A = R = L, y el punto en que tal cosa ocurre es el punto paramétrico de la clotoide, punto en el cual el radio de curvatura y la longitud del arco desde el origen son iguales. En el punto paramétrico corresponde un arco entre las tangentes de 28°38’52”.

 

Corresponde a la espiral con más uso en el diseño de carreteras, sus bondades con respecto a otros elementos geométricos curvos, permiten obtener carreteras cómodas, seguras y estéticas.

 

Angulo de giro de la espiral clotoide.

 

Para resolver la ecuación nos basamos en la definición de longitud de arco y de radio de curvatura que son identicos para el caso de la clotoide:

 

                Longitud del arco; despejando   y haciendo  

 

      Integrando

 

                   

 

 

 

A partir del ángulo podemos deducir otras dos formulas más para calcular A, L y R conociendo el ángulo  

 

                             si elevamos al cuadrado obtenemos        y como    

 

             

 

 

 

 

Observando el detalle de la figura anterior vemos que para una longitud dL:

 

      como      →   

 

       como      →   

 

 

 

 

Integrando y haciendo     ,                  y          

 

           Despejamos A² y L                   

 

             Despejamos A² y L                   

 

 

Ecuaciones paramétricas.

 

Integral de Fresnel

 

Las integrales de Fresnel, C(z) y S(z), son dos funciones trascendentales que hacen honor a Augustin-Jean Fresnel y que son empleadas en campos que se basan en ecuaciones de ondas, como la óptica. Las mismas se originan al realizar el análisis de fenómenos de difracción de Fresnel en el campo próximo, y se definen según las siguientes expresiones integrales:

 

 

 

Las gráficas simultáneas paramétricas de S(x) y C(x) definen la espiral de Cornu, o clotoide.

 

Hacemos un cambio de variable para llegar a las famosas ecuaciones de Fresnel. 

 

            obsérvese que  

 

Si derivamos

 

  despejando  

 

Sustituyendo en las ecuaciones de x e y:

 

Vemos que la razón de la homotecia que vamos a aplicar a las ecuaciones de Fresnel es , tanto en el valor de longitud de arco en la entrada como en los resultados x e y en la salida.

 

Para resolverlas numéricamente se descomponen en series de potencias. Para lograr la convergencia en pocos términos, dividimos, para valores pequeños de z, en una serie de potencias positivas (la serie de Taylor) y para valores grandes de z en una serie de potencias negativas. Por su aplicación como curva de transición nos centraremos solamente en los primeros valores de z, obtenidos con las series de Taylor, con las que podemos calcular giros de hasta 270º en la clotoide.

 

Desarrollo de Taylor

 

El desarrollo en serie de Taylor del coseno y del seno son: 

 

 

El desarrollo de   y  por tanto: 

 

 

Integrando estos polinomios entre 0 y z, nos queda: 

 

 

Por tanto si volvemos a las ecuaciones de x e y

 

 

Donde θ se da en radianes. El cálculo de X y de Y se puede obtener por computadores (u ordenadores) o en calculadoras programables o mediante tablas que requieren interpolar valores.

 

Elementos de la espiral clotoide.

- Disloque de la espiral

 

- Longitud de abscisa media

 

- Longitud de la tangente larga

 

-Longitud de la tangente corta

 

- Longitud de la tangente del sistema de empalme

 

- Longitud de la externa o bisectriz del sistema de empalme

 

- Angulo de la cuerda larga de la espiral

 

- Cuerda de la espiral

 

 

Si se observa la Figura se puede notar que la espiral desplaza la curva circular hacia el centro de esta separándola un distancia Y en el punto donde estas empalman (EC) y una distancia ΔR, llamada disloque, en el PC. Aunque el PC no existe dentro de la curva, es el punto donde supuestamente estaría ubicado éste si no se tiene la curva espiral, en otras palabras, es el punto donde la tangente a la prolongación de la curva circular es paralela a la tangente de la curva.

 

El punto PC está ubicado a una distancia Xm desde el TE en la dirección de la tangente. El valor de Xm se conoce como abscisa media ya que su valor es aproximadamente igual a la mitad de L. Podría decirse entonces, que el disloque es el valor de Y en la mitad de la curva espiral y que la mitad de la curva espiral reemplaza parte de la curva circular.

 

Xm, ΔR, entonces son las coordenadas cartesianas del punto PC.

 

La utilidad del disloque radica en que de acuerdo a su valor se define la necesidad o no de utilizar curvas de transición. Un valor muy pequeño significa que la trayectoria de la curva circular simple es muy similar a la descrita con curvas de transición por lo que se podría prescindir de estas. Un valor alto indica que las dos trayectorias son lo suficientemente diferentes para considerar que se deben usar las espirales de transición, aunque los diseños actuales contemplan el uso de espirales para todas las curvas de un trazado sin importar el valor del disloque.

 

Trazado de la clotoide en Autocad mediante rutina LISP.

 

Para poder trazar la clotoide ya hemos dicho que es necesario el uso de algún programa informatico, existen muchas aplicaciones diferentes con las que se pueden trazar clotoides y curvas de transición de diferentes maneras. Nosotros vamos a explicar la manera de poder dibujarla utilizando Autocad® y una rutina AutoLisp® que calcula puntos de la clotoide utilizando para ello las integrales de Fresnel y el desarrollo de Taylor.

 

La rutina utiliza como parametros de entrada los siguientes valores: A, parametro de la cicloide; R, radio de salida; L, longitud de la clotoide, y es necesario introducir dos de ellos como minimo. A continuación solicita el número de puntos a calcular y dibuja la clotoide partiendo del origen de coordenadas permitiendo valores de θ hasta 270º. Si lo deseas puedes descargar la rutina si pinchas el siguiente enlace: Rutina Lisp Clotoide. 

 

 

Dibujar una clotoide conociendo en angulo θ y el radio de salida R.

 

 

 

Se nos pide, por ejemplo, obtener la clotoide en la que el ángulo θ = 45º y la circunferencia de salida, es decir, la circunferencia a la que es tangente la clotoide tiene un radio de 50m.

 

A partir de la formula del ángulo θ obteniamos,  . Sustitutendo los valores tenemos:

 

L = 50 X 2 X 45(Π/180) = 25Π = 78.53981    ;     A² = R X L = 50 X 25Π     ;    A = 62.6657

 

Con los valores de R y L o con los valores de A y R podemos dibujar la clotoide.

 

 

 

 

 

 

 

Dibujar una clotoide conociendo en angulo θ y la longitud total L.

 

 

 

Se nos pide, por ejemplo, obtener la clotoide en la que el ángulo θ = 90º y cuya longitud total L = 400m.

 

A partir de la formula del ángulo θ obteniamos,  . Sustitutendo los valores tenemos:

 

R = L / 2θ = 400 / 2 X 90(Π/180) = 400/Π = 127.323954    ;          A² = R X L = 400/Π X 400     ;    A = 225.675833

 

Con los valores de R y L o con los valores de A y R podemos dibujar la clotoide.

 

 

 

 

 

 

 

Uso de la clotoide como curva de transición.

 

En un diseño donde se utilizan elementos geométricos rígidos como la línea recta y los arcos circulares, cualquier móvil que entre en una curva horizontal o salga de la misma, experimenta un cambio brusco debido al incremento o disminución de la fuerza centrífuga, que se efectúa en forma instantánea, lo que produce incomodidad en el usuario. El conductor sigue generalmente un camino conveniente de transición, lo que puede originar la ocupación de una parte del carril adyacente, cuando se inicia el recorrido de la curva, lo que representa un peligro si el carril aledaño es para tránsito de sentido contrario. Salvo cuando se tienen curvas de radios grandes, donde también se pueden usar pero no es estrictamente necesario, lo indicado es emplear las curvas de transición.

 

Son las curvas de transición alineaciones de curvatura variable con su recorrido; y su objeto es suavizar las discontinuidades de la curvatura y el peralte. Se evita con ellas, por tanto, un cambio brusco de la aceleración radial, y en el control de la dirección del vehículo; y se dispone de longitudes suficientes, que permiten establecer un peralte y un sobreancho adecuados, modificar el ancho de la calzada y realzar la estética de la vía.

 

Durante el proceso de desarrollo de nuevas tecnologías aplicadas al diseño de carreteras en países europeos, se han utilizado especialmente como curvas de transición las espirales y entre las más adecuadas se encuentra la espiral clotoide.

 

Las principales ventajas de las espirales en alineamientos horizontales son las siguientes:

 

- Una curva espiral diseñada apropiadamente proporciona una trayectoria natural y fácil de seguir por los conductores, de tal manera que la fuerza centrífuga crece o decrece gradualmente, a medida que el vehículo entra o sale de una curva horizontal.

 

- La longitud de la espiral se emplea además para realizar la transición del peralte y la del sobreancho entre la sección transversal en línea recta y la sección transversal completamente peraltada y con sobreancho de la curva.

 

- El desarrollo del peralte se hace en forma progresiva, con lo que se consigue que la pendiente transversal de la calzada sea, en cada punto, la que corresponde al respectivo radio de curvatura.

 

- La flexibilidad de la clotoide y las muchas combinaciones del radio con la longitud, permiten la adaptación a la topografía, y en la mayoría de los casos la disminución del movimiento de tierras, para obtener trazados más económicos.

 

Con el empleo de las espirales en autopistas y carreteras, se mejora considerablemente la apariencia en relación con curvas circulares únicamente. En efecto, mediante la aplicación de espirales se suprimen las discontinuidades notorias al comienzo y al final de la curva circular (téngase en cuenta que sólo se utiliza la parte inicial de la espiral), la cual se distorsiona por el desarrollo del peralte, lo que es de gran ventaja también en el mejoramiento de carreteras existentes.

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