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Equivalencia.

 

Se dice que dos figuras o dos sólidos son equivalentes, cuando tienen igual área o volumen, expresada mediante un mismo valor numérico y en las mismas unidades de medida, aun teniendo forma distinta.

 

La equivalencia trata de obtener figuras en las que la forma sea distinta pero con igual área, por lo que la dimension o tamaño de la figura mas o menos se mantiene. Durante nuestra historia fue muy conocido el problema de la cuadratura del circulo que junto a la triseccion del angulo y la duplicación del cubo, fue uno de los problemas clásicos de la Geometría en la antigua Grecia. Se ha demostrado que estos tres problemas, en general, son imposibles de resolver usando únicamente regla y compás, aunque son muy recurridas las aproximaciones.

 

Triangulo equivalente a uno dado manteniendo un lado.

Dado el triángulo ABC: 

 

1.- Trazamos una recta r, paralela al lado que se desea mantener y que pase por su vértice opuesto. Todos los puntos de esa paralela tienen la misma altura H con respecto a ese lado. 

 

2.- Si tomamos un punto C′ sobre la recta paralela r y lo unimos con A y B, el triángulo resultante es equivalente al triángulo ABC dado. 

 

3.- Si tomamos un punto C" sobre la recta paralela r y lo unimos con A y B, el triángulo resultante es equivalente al triángulo ABC dado. 

 

Aplicando esta construcción se puede reducir el numero de lados de un polígono cualquiera. Ejemplo 5. 

 

Cuadrado equivalente a un triángulo rectángulo dado.

Dado el triángulo ABC: 

 

1.- La mediatriz del segmento AC, altura del triángulo, nos determina el punto medio de esta M. 

 

2.- Con centro A se traza un arco de radio AM que corta a la prolongación del lado AB en el punto P. 

 

3.- La mediatriz del segmento PB nos determina el punto O. 

 

4.- Desde O se traza un arco de radio OP que corta al lado AC en el punto Q. 

 

5.- Si se construye el cuadrado de lado AQ resulta equivalente al triángulo dado ABC. 

 

 

Rectangulo equivalente a un triángulo dado.

 

Dado el triángulo ABC, sabemos que el área del triángulo es BxH/2 y el área del rectángulo BxH, por tanto un rectángulo de base B y altura H/2 es equivalente al un triángulo de base B y altura H: 

 

1.- Se halla la altura del triangulo. 

 

2.- Se traza la mediatriz de la altura. Por el punto medio de la altura M se traza una paralela a la base. 

 

3.- Desde cada extremo de la base se levantan perpendiculares. 

 

4.- El rectángulo obtenido es equivalente al triángulo dado. 

 

 

 

Cuadrado equivalente a un rectángulo dado.

Dado el rectángulo ABCD: 

 

1.- Trazamos con centro el vértice D y radio DE un arco hasta obtener el punto P en la prolongación del lado DB. 

 

2.- Se traza la mediatriz del segmento DP. 

 

3.- Desde M, punto medio de DP se traza otro arco de radio MP que corta a la prolongación del lado AB en Q. 

 

4.- El segmento QD es el lado del cuadrado que buscamos. 

 

Poligono con un lado menos equivalente a uno dado.

Para esta transformación se aplica lo visto en el primer ejemplo. Transformaremos el triángulo AFE en el equivalente APE, con lo que al polígono se le elimina un lado pero se prolonga otro lado. 

 

1.- Se traza una paralela al segmento AE por F, prolongando el lado AB se obtiene P 

 

2.- Uniendo P con E se obtiene un triángulo APE equivalente al AFE, con lo que se elimina un lado al poligono. 

 

Triangulo equivalente a un polígono cualquiera (cont. ejemplo anterior).

 

Si se continua con el ejemplo anterior aplicando la misma construcción sobre el resto de lados: 

 

3.- Transformamos el triángulo BCD el en triángulo equivalente BQD, obteniendo el cuadrilátero PQDE. 

 

4.- Transformamos el triángulo QDE el en triángulo equivalente QRE, obteniendo finalmente el triángulo PRE. 

 

 

 

Cuadrado equivalente a un polígono cualquiera.

 

 

 

Con lo visto hasta aquí el procedimiento para obtener un cuadrado equivalente a un polígono cualquiera seguirá los siguientes pasos: 

 

1.- Obtener el triángulo equivalente al polígono dado. Ejemplo 6. 

 

2.- Obtener un rectángulo equivalente a un triángulo dado. Ejemplo 3. 

 

3.- Obtener un cuadrado equivalente a un rectángulo dado. Ejemplo 4. 

 

 

 

 

Cuadrado equivalente a un circulo cualquiera (Cuadratura del circulo),

1.- Se traza un diámetro AB y se divide el radio OB en seis partes iguales. 

 

2.- Por A se traza una perpendicular al diámetro AB. 

 

3.- Con centro en la primera división del radio OB, se traza un arco de radio dos veces el diámetro AB, cortando a la perpendicular al diámetro trazada por A en el paso anterior en un punto P. 

 

4.- Se une el punto B con el punto P cortando a la circunferencia en el punto Q. El segmento QA es el lado del cuadrado equivalente al circulo. 

 

5.- Se construye el cuadrado conocido el lado. 

 

Cuadrado equivalente a otros dos dados.

Para resolverlo se aplica directamente el Teorema de Pitagoras que dice que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. 

 

1.- Por tanto se construye un triángulo rectángulo de catetos iguales a los lados de los cuadrados dados. 

 

2.- El cuadrado construido sobre la hipotenusa será igual a la suma de los cuadrados de los catetos. 

 

Circulo equivalente a otros dos dados.

 

 

Para resolverlo se aplica directamente el Teorema de Pitagoras de manera similar al caso anterior pero en este caso con la circunferencia circunscrita al triángulo rectangulo.

 

 

 

 

 

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