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El arco.

El arco, es la porción de circunferencia delimitada por dos puntos de esta, es decir delimitada por una cuerda.

Para poder definir un arco son necesarios dos puntos del arco y el radio, o tres puntos del arco. Es facil hallar los centros de estos arcos sabiendo que las circunferencias que pasan por dos puntos dados están siempre en la mediatriz de los dos puntos, por tanto en el primer caso se halla la mediatriz del segmento delimitado por los dos puntos y despues se lleva sobre ella la medida del radio, y en el segundo caso basta con hallar el punto de corte de las dos mediatrices para obtener el centro. Este segundo caso sería el primero de los diez Problemas de Apolonio que se estudian como casos especiales de tangencias.

Se puede carcular el angulo central α que abarca un determinado arco conociendo su longitud estableciendo la igualdad 2·Π·R / 2·Π·r = 360/α, es decir, α = Lon. arco·360 / Lon. circ.

Arco capaz.

Uno de los conceptos prácticos más útiles sobre arcos es el de arco capaz de un segmento bajo un angulo dado. Esta arco tiene la propiedad de que cualquier angulo inscrito cuyos lados pasen por los dos extremos del segmento que hacen de cuerda del arco tiene siempre el mismo valor.

Para construir el arco capaz de un segmento AB bajo un ángulo α dado, se traza la mediatriz del segmento AB según se muestra en la figura, se lleva por uno de los extremos del segmento, por ejemplo el A, el angulo complementario (90-α) del ángulo deseado, obteniendo una recta que corta a la mediatriz anterior en un punto, que constituye el centro del arco capaz buscado.

Rectificacion de arcos.

En Geometría se entiende por rectificación el determinar, sobre una linea recta, la longitud de una curva, de un arco o de una circunferencia.

Rectificación de un arco menor de 90º.

Tenemos el arco AB de centro O. 

1.- Tazamos la circunferencia que contiene al arco dado y se divide su radio en cuatro partes iguales. 

2.- A partir de la ultima división, punto 4, se llevan 3/4  de la longitud del radio obteniendose en punto 3′. 

3.- En el extremo A del arco levantamos una perpendicular. 

4.- La unión del punto 3′ con el punto B del arco corta a la perpendicular levantada desde A en el punto C. El segmento AC equivale a la rectificación del arco AB. 

Rectificación de un cuadrante de circunferencia. 

1.- Tazamos el diámetro AB de la circunferencia inicial. 

2.- Con centros A y B se trazan dos arcos del mismo radio que la circunferencia que la cortan en los puntos C y D. 

3.- Con centro de nuevo en A y B se trazan otros dos arcos de radio AD y BC que se cortan en un punto E externo a la circunferencia. 

4.- Con centro el punto D y radio DE se traza otro arco que corta a la circunferencia en un punto F. 

5.- Uniendo el punto B con el F se obtiene el segmento BF cuya longitud es la del cuadrante de la circunferencia dada. 

Rectificación de una semicircunferencia. 

Es posible obtener una aproximación al valor de π de forma geométrica. De hecho, ya los griegos intentaron obtener sin éxito una solución exacta al problema del valor de π mediante el empleo de regla y compás. El problema griego conocido como cuadratura del circulo o, lo que es lo mismo, obtener un cuadrado de área igual al área de un círculo cualquiera, lleva implícito el cálculo del valor exacto de π, imposible de conseguirse por metodos geométricos.

Una vez demostrado que era imposible la obtención de π mediante el uso de regla y compás, se desarrollaron varios métodos aproximados. Una de las soluciones aproximadas más elegantes y exactas (usando regla y compás) es la de Kochanski cuyo proceso es el siguiente:

1.- Tazamos el diámetro AB de la circunferencia inicial. 

2.- Se traza una línea desde O que forme 30º con la vertical, para ello se traza un arco desde B de radio r obteniendo el punto C desde el que se traza otro arco de igual radio que corta al anterior en el punto D que unirlo con O forma los 30º deseados. 

3.- Tangente a la circunferencia por el punto B se traza una línea que corta a la línea anterior en el punto E. 

4.- Desde E se lleva tres veces la medida del radio hasta obtener el punto F. 

5.- La longitud del segmento AF es igual a la longitud de la semicircunferencia dada. 

Por Pitagoras se demuestra que AF = √(AB² + BF²) = √(4r²+(3r - (r√3)/3)²) = 3,14153...  · r

Rectificación de la circunferencia. 

1.- Se divide el diámetro de la circunferencia en siete partes iguales, aplicando el teorema de tales. 

2.- En uno de los extremos del diámetro trazamos un arco o circunferencia de radio igual 1/7 del Ø y en su prolongación obtenemos el punto B. 

3.- Desde el extremo opuesto llevamos dos veces el diámetro de la circunferencia hasta obtener el punto A. 

4.- El segmento AB obtenido AB = 3Ø + Ø / 7 equivale a la longitud de la circunferencia dada.

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