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Problemas de Apolonio.

 

En este capítulo desarrollaremos los llamados 10 casos de Apolonio, que consisten en el trazado de una o varias circunferencias sometidas a la condición de paso por un punto y tangencias con otras rectas o circunferencias. De las distintas combinaciones surgen los 10 casos diferentes.

 

1°.- P.P.P. (Punto, punto, punto)

 

Dados tres puntos A, B, C, determinar el centro O de la circunferencia que pasa por estos puntos.

 

Apolonios 1°.- P.P.P. (Punto, punto, punto)

 

 

 

1.-Uniendo los puntos y trazando las mediatrices de los segmentos que se forman se obtiene el centro de la circunferencia que pasa por los tres puntos.

 

 

 

 

 


 

2°.- P.P.R. (Punto, punto, recta)

 

Dados dos puntos A y B y la recta r trazar las circunferencias que pasen por estos puntos que sean tangentes a r. Este caso es de los más importantes porque muchos de los siguientes se reducirán a este.

 

Para la resolución de este caso se aplican los conceptos teóricos de eje radical de dos circunferencias

Apolonios 2°.- P.P.R. (Punto, punto, recta)

1.-Se traza la recta que une A y B hasta cortar a r en el punto M.

 

2.-Se traza la semicircunferencia de diámetro AM.

 

3.-Por B se traza una perpendicular que cortara a la semicircunferencia en N.

 

4.-Con centro en M y radio MN se traza la semicircunferencia que corta a r en S y T, que son los puntos de tangencia de las circunferencias solución con la recta.

 

5.-Los centros de las circunferencias estarán en la intersección de la mediatriz de A y B con las perpendiculares desde S y T.

 

 

 

3°.- P.R.R. (Punto, recta, recta)

 

Dado un punto A y las rectas r y r’, trazar las circunferencias que pasan por el punto y sean tangentes a las dos rectas dadas.

Apolonios 3°.- P.R.R. (Punto, recta, recta)

 

1.-Se traza la bisectriz del Angulo que forman r y r’ y la perpendicular a esta por A que cortara a r’ en M.

 

2.-Se determina el punto B simétrico de A respecto de la bisectriz.

 

3.-El problema ha quedado reducido al 2°, P.P.R. siendo los puntos A, B y la recta r’.

 

 

 

 

 

 

 

4°.- R.R.R. (Recta, recta, recta)

 

Dadas tres rectas r, r’ y r”, trazar las circunferencias tangentes a dichas rectas.

Apolonios 4°.- R.R.R. (Recta, recta, recta)

 

 

Para la resolución de este caso se aplican las propiedades geometricas de las bisectrices interiores y exteriores de un triangulo, que se cortan en los centros de las circunferencias inscrita y exinscritas al triangulo.

 

1.-Se trazan las bisectrices de los ángulos exteriores e interiores formados por las rectas dadas. Los puntos de intersección de unas con otras nos definen los centros O, O1, O2 y O3 de las soluciones.

 

2.-Los puntos de tangencia están en la perpendicular desde el centro de la circunferencia a cada recta.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5°.- P.P.C. (Punto, punto, circunferencia)

 

Dados los puntos A, B y la circunferencia C trazar las circunferencias que pasen por los dos puntos y sean tangentes a la circunferencia dada.

 

Para la resolución de este caso se aplican los conceptos teóricos de eje radical de dos circunferencias

Apolonios 5°.- P.P.C. (Punto, punto, circunferencia)

1 -Se traza la recta que pasa por A y B y su mediatriz.

 

2.-Se toma un punto P cualquiera de la mediatriz y se traza una circunferencia que pase por A y B y que corte a la dada en dos puntos M y N.

 

3.-La recta que pasa por M y N y la que pasa por A y B se cortan en el punto J.

 

4.-Desde J se trazan las dos tangentes a la circunferencia dada que pasan por los puntos de tangencia T y T’.

 

5.-Uniendo los puntos de tangencia T y T’ con el centro O de la circunferencia dada y prolongando las rectas hasta que corten a la mediatriz de A y B obtenemos los centros de las circunferencias solución. 

 

 

 

6°.- P.C.C. (Punto, circunferencia, circunferencia)

 

Dados un punto P y las circunferencias C y CI, trazar las circunferencias que pasen por P y sean tangentes a las circunferencias dadas.

Apolonios 6°.- P.C.C. (Punto, circunferencia, circunferencia)

 

1.-La recta C1C2 que une los centros de las circunferencias dadas y la recta TT’ tangente exterior a ambas se cortan en el punto M.

 

2.-La recta que une M y P corta con la circunferencia que pasa por los puntos P, T y T’ en el punto N. Esta circunferencia también corta a C2 en el punto T”.

 

3.-Se une T’ con T” que cortara a la recta MP en el punto J.

 

4.-Desde J se trazan las dos rectas tangentes a C2, JP y JQ.

 

5.-Por P y Q se levantan perpendiculares a las dos tangentes hasta que corten con la mediatriz de PN. Se obtienen los puntos O1 y O2 centros de las circunferencias solución.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6°.- P.C.C. (POR INVERSION)

Apolonios 6°.- P.C.C. (POR INVERSION)

1.-El punto de intersección de la línea que pasa por los centros de las circunferencias dadas y la recta tangente común a ambas circunferencias nos determina el centro de inversión positiva O+. Tenemos además el punto A y su inverso A’.

 

2.-Se traza la circunferencia que pasa por A, A’ y P. Esta circunferencia es secante a C1, uniendo los dos puntos de intersección obtendremos el punto Q donde nos corte con la recta OP. Además nos sirve para obtener el inverso del punto P.

 

3.-Desde Q trazamos la tangente QR a la circunferencia auxiliar anterior, y con radio QR el arco que nos cortara a C1 en los puntos de tangencia T1’ y T2’.

 

4.-Uniendo los puntos de tangencia T1’ y T2’ con en centro de inversión O obtenemos los otros dos puntos de tangencia T1 y T2.

 

5.-Uniendo los puntos de tangencia con los centros de las circunferencias obtendremos los centros de las circunferencias solución. 

 

Hay que tener en cuenta que podrían obtenerse otras dos soluciones si utilizamos el centro de inversión negativo O-.

 

7°.- C.C.C. (Circunferencia, circunferencia, circunferencia)

 

Dadas tres circunferencias C, C1 y C2, trazar otras que sean tangentes a las dadas.

 

Aplicamos las dilataciones con el fin de reducir la menor a un punto (su centro). Para ello restamos a las circunferencias el radio de la menor, quedando está reducida a un punto. Una vez hecho esto se resuelve el problema atendiendo a lo dicho en el caso anterior P.C.C.

 

Se puede llegar a tener hasta 8 soluciones.

 

8°.- C.R.R. (Circunferencia, recta, recta)

 

Dadas una circunferencia C1, y dos rectas r y r’ trazar las circunferencias tangentes a la circunferencia y las rectas dadas.

Apolonios 8°.- C.R.R. (Circunferencia, recta, recta)

 

Trazando las paralelas a r y r’ a una distancia igual al radio de la circunferencia dada, queda el problema reducido al caso 3° (P.R.R.), siendo el punto P el centro de la circunferencia C1.

 

9.- P.C.R. (Punto, circunferencia, recta) 

 

Dado un punto P, una circunferencia C y una recta r, trazar una circunferencia que pase por el punto y que sea tangente a la circunferencia y a la recta.

Apolonios 9.- P.C.R. (Punto, circunferencia, recta)

 

1.-Utilizando la inversión tomamos O+ como centro de inversión positiva y hallamos A y A’.

 

2.-Trazando una circunferencia que pase por A, A’ y P obtenemos el punto P’ inverso del P en la recta que une O con P. Las soluciones pasaran por P y P’ y serán tangentes a la recta r, quedando el problema reducido al 2° caso P.P.R.

 

10°.- C.C.R. (Circunferencia, circunferencia, recta).

 

Dadas das circunferencias, C1y C2, y una recta r, trazar una circunferencia tangente a la recta y circunferencias dadas.

 

Aplicando dilatación restamos a la circunferencia mayor C1 el radio de la menor C2. La circunferencia menor queda reducida a un punto, y a la recta r le trazamos una paralela a una distancia también igual a r2. El problema ha quedado reducido al caso 9º P.C.R.



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