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Eje radical de dos circunferencias.

El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia respecto a ambas.

Se demuestra que este lugar geométrico es una recta perpendicular a la definida por los centros de ambas circunferencias, por lo que sería suficiente con obtener un punto de dicha recta para su definición. Por tanto, si trazamos la tangente común a dos circunferencias, y hallamos el centro del segmento definido por los puntos de tangencia, podemos afirmar que dicho punto pertenece al eje radical buscado, pues el cuadrado de su distancia a cada punto de tangencia es el valor de la potencia de ese punto respecto a las circunferencias dadas. La perpendicular a la recta OO’ trazada desde el punto medio antes hallado constituye el eje radical buscado.

Si las circunferencias se cortan, el eje radical queda definido por los puntos de corte.

Si son tangentes el eje radical es la tangente común.

Si una circunferencia es interior, a la otra, requiere una construcción especial que procedemos a justificar a continuación.

Trazando una circunferencia auxiliar, que corte a ser posible a las dos circunferencias dadas, podemos hallar el eje radical de esta curva auxiliar con cada circunferencia, obteniendo dos rectas que se cortan en un punto M que tiene igual potencia respecto a las tres circunferencias. Por tanto, M pertenece al eje radical de las dos curvas dadas, cuyo trazado se reduce al dibujo de la perpendicular a OO’ desde dicho punto M.

Ejemplos de aplicación del eje radical. 

Ejemplo 1°. Dados dos puntos A y B y una recta r, hallar los puntos de tangencia de la recta r con las circunferencias que pasan por A y B.

Este es uno de los diez Problemas de Apolonio sobre tangencias , el caso 2º punto, punto, recta.

1.- Sabemos que toda circunferencia que pase por dos puntos A y B tiene su centro en la mediatriz del segmento que éstos definen, por lo que inicialmente se trazará dicha mediatriz, así como una circunferencia auxiliar, de centro en un punto cualquiera de la mediatriz y radio tal que la curva contenga a los puntos A y B dados.

2.- Por otra parte, basándonos en el concepto de potencia de un punto respecto a una circunferencia, sabemos que, dado que la recta definida por los puntos A y B corta a la recta dada en un punto C, se cumple que: CA x CB= CD², siendo D el punto de tangencia entre la circunferencia y la tangente trazada desde C.

3.- La medida del segmento CD, obtenida por este procedimiento, es igual a la del segmento de tangente con origen en C y final en los puntos de tangencia T buscados. Por tanto, llevaremos sobre la recta dada, y a partir de C, una magnitud igual a CD, obteniendo los puntos de tangencia de la circunferencia aludida con la recta dada. El problema tiene dos soluciones simétricas respecto al punto C.

4.- Si se deseara el trazado de las circunferencias, éstas quedan definidas por los puntos A, B y cada uno de los puntos de tangencia con la recta anteriormente obtenidos, el primer caso de los diez Problemas de Apolonio.

Ejemplo 2°. Dados dos puntos A y B y una circunferencia, hallar los puntos de tangencia de la circunferencia dada con las circunferencias que pasan por A y B.

Este es uno de los diez Problemas de Apolonio sobre tangencias , el caso 5º punto, punto, circunferencia.

1.- Si se traza una circunferencia auxiliar que contenga a los puntos A y B y corte a la circunferencia dada, observamos que el eje radical de ésta y la circunferencia dada es la recta MN.

2.- El eje radical de la circunferencia auxiliar y la solución es la recta AB, por pasar ambas curvas por estos puntos; luego el corte de AB con MN en el punto C representa el centro radical de las tres circunferencias. El punto C, como se sabe, tiene igual potencia respecto las tres circunferencias y, por tanto, igual segmento de tangente al trazar desde él las tres rectas que tienen contacto único con las curvas.

3.- Al dibujar las tangentes desde C a la circunferencia dada se obtienen los puntos de tangencia T buscados entre las circunferencias solución y la dada.

4.- El ejercicio queda resuelto a la contruccion de circunferencias que pasan por tres puntos dados, el primer caso de los diez Problemas de Apolonio.

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