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El triangulo.

Definiciones.

- El triángulo es un polígono cerrado y convexo constituido por tres lados y tres ángulos.

Si los tres lados son iguales se le llama equilátero, cumpliéndose la igualdad de los tres ángulos; si tiene dos lados iguales y uno desigual se le llama isósceles, cumpliéndose idéntica relación para los ángulos; y si  los tres lados, y por tanto los tres ángulos son distintos al triángulo se le denomina escaleno.

Cuando los ángulos son agudos, al triángulo se le llama acutángulo; cuando uno de sus ángulos es recto, al triángulo se le llama rectángulo; y cuando un ángulo es obtuso, se le llama obtusángulo.

- La suma de los ángulos interiores de un triangulo es de ciento ochenta grados sexagesimales

En el triángulo ABC de la citada figura hemos trazado por B una paralela BM al lado AC. Se han formado dos ángulos: el definido por MBN y el definido por MBC. Se puede apreciar que el primero es igual al ángulo interior del triángulo con vértice en A, y el segundo es igual al que, siendo interior en el triángulo, tiene por vértice el punto C. La suma de los ángulos MBN, MBC y ABC es ciento ochenta grados, por ser un ángulo llano, se demuestra la propiedad anterior.

Estas mismas consideraciones nos permiten demostrar que el ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

Rectas y puntos notables del triangulo.

- La altura se define como el segmento obtenido al trazar desde cada vértice una perpendicular al lado opuesto. Las alturas se cortan en un punto llamado ortocentro.

Al triángulo cuyos vértices son los pies de las alturas de un triángulo dado se le llama triángulo órtico del primero, cumpliéndose que las alturas del primitivo son bisectrices de su órtico asociado.

- Las tres bisectrices interiores de un triángulo ABC se cortan en un punto O llamado incentro, representativo del centro de la circunferencia inscrita, tangente a los lados del triángulo.

Las bisectrices exteriores de los correspondientes ángulos del triángulo, se cortan en tres puntos P, Q y R llamados exincentros, siendo estos puntos los centros de cada una de las circunferencias exinscritas, resultando, cada una de ellas, tangente a un lado y a las prolongaciones de los otros dos.

Las bisectrices interiores de un triángulo son alturas del triángulo definido por sus exincentros, cumpliéndose, por tanto, que un triángulo cualquiera es el órtico del triángulo formado por sus exincentros.

- Las llamadas mediatrices de un triángulo son las correspondientes a cada lado del mismo. Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro, representativo del centro de la circunferencia circunscrita, que contiene a los tres vértice del polígono. 

- La mediana es el segmento definido por un vértice del triángulo y el punto medio del lado opuesto. Las medianas se cortan en un punto llamado baricentro, que cumple que su distancia a un vértice es el doble que su distancia al punto medio del lado opuesto. Por tanto, la distancia del baricentro a un vértice representa los dos tercios del valor total de la mediana, siendo su distancia al punto medio de un lado un tercio del valor de la mediana que pasa por él.

El baricentro es el centro de gravedad de su triángulo.

Propiedades.

El baricentro, el circuncentro y el ortocentro están alineados en la llamada recta de Euler, cumpliéndose que la distancia del baricentro al ortocentro es doble que su distancia al circuncentro.

En la construcción que se acaba de describir, se puede tomar como centro de una circunferencia el punto medio del segmento definido por el ortocentro y el circuncentro, y trazarla con radio igual a la mitad del radio de la circunferencia circunscrita al triángulo de partida. Se obtiene una nueva circunferencia, llamada de los nueve puntos, o Circunferencia de Euler o de Feuerbach, que pasa por los tres pies de las alturas del triángulo, por los puntos medios de los lados y por los puntos medios de los segmentos definidos por los vértices y el ortocentro.

Entre las propiedades importantes de esta circunferencia resaltamos su tangencia con las exinscritas e inscrita al triángulo de referencia. Junto a esta circunferencia podemos mencionar otra propiedad de la circunscrita a un triángulo consistente en pasar por los puntos medios del triángulo de exincentros y por los puntos medios de los segmentos definidos por los mencionados exincentros y por el incentro del triángulo de partida.

La circunferencia circunscrita a un triángulo cumple la propiedad de mantener alineados los pies de las perpendiculares trazadas a los lados del triángulo desde cualquier punto de dicha circunferencia. A la recta formada por los pies de las perpendiculares mencionadas se le llama de Simson.

Otra propiedad de la circunferencia circunscrita al triangulo es la que dice que : en todo triangulo inscrito en una circunferencia se cumple que la bisectriz de un angulo y la mediatriz del lado opuesto concurren en un punto de la circunferencia circunscrita al triangulo.

Otras de las propiedades que merecen ser resaltadas son las correspondientes a los siguientes teoremas:

Teorema de la altura.

Sea el triángulo rectángulo ABC de la figura 2.1, recto en A y, por tanto, inscrito en una circunferencia de diámetro igual a la hipotenusa BC, se demuestra, basándose en la semejanza de los triángulos ABH y AHC, que el cuadrado de la altura correspondiente a la hipotenusa es igual al producto de los segmentos BH y HC que aquella produce en ésta.

Lo anterior será utilizado para establecer que la altura AH es el segmento correspondiente a la raíz cuadrada de un número obtenido como producto de otro dos (BH y CH), cuya suma es precisamente el diametro o hipotenusa de la mencionada figura.

Teorema del cateto.

El cuadrado de la medida AB de un cateto de un triángulo rectángul0 es igual al producto de su hipotenusa BC por la proyección BH de aquel sobre ésta. El fundamento de la demostración radica en la semejanza entre los triangulos ABC y AHB de la figura.

Este mismo teorema puede demostrarse para el otro cateto, a partir de la semejanza entre los triangulos ABC y AHC.

Teorema de Pitágoras.

En todo triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la medida del lado mayor, al que llamamos hipotenusa, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, llamados catetos. 

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