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Curso Dibujo Tecnico

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Curso Dibujo TecnicoConstrucciones geométricasPrincipalesPolígonos

Fecha del artículo:
2011-09-20

Polígonos.

Definición y clasificación.

 

Se denomina línea poligonal al conjunto ordenado de segmentos tales que, el extremo de uno de ellos coincide con el origen del segmento que le sigue. Por tanto, se denomina poligono a la porcion de plano delimitada por una linea poligonal cerrada.

Clasificación de Poligonos

Los poligonos por la forma de su contorno se clasifican en 

 

- Equilátero, el que tiene todos sus lados iguales (Fig. 1, 3, 4).

 

- Equiángulo, el que tiene todos sus ángulos iguales (Fig. 1, 3, 4).

 

- Regular, si es equilátero y equiángulo a la vez, es decir tiene sus ángulos y sus lados iguales (Fig. 1, 3, 4).

 

- Irregular, si tiene sus ángulos y lados desiguales (Fig. 2, 6).

 

- Convexo, si al atravesarlo una recta lo corta en un máximo de dos puntos (Fig. 1, 3, 4, 5).

 

- Cóncavo, si al atravesarlo una recta puede cortarlo en más de dos puntos (Fig. 2, 6).

 

- Inscrito, el construido dentro de una circunferencia con sus vertices en contacto con ella. Sus lados son cuerdas de la circunferencia (Fig. 3).

 

- Circunscrito, aquél cuyos lados son tangentes a una circunferencia (Fig. 4).

 


 

- Simple, si dos de sus lados no consecutivos no se intersecan (Fig. 1, 2, 3, 4, 5).

 

- Estrellado, aquél cuyos ángulos son alternativamente salientes y entrantes (Fig. 5).

 

- Complejo, si dos de sus lados no consecutivos se intersecan (Fig. 6).

 

Elementos

 

En un polígono regular podemos distinguir, además:

Elementos de un poligono

- CentroO: el punto equidistante de todos los vértices y lados.

 

Apotemaa: segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.

 

Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos. Se puede calcular en numero total de diagonales en un poligono usando, Dt = (n(n-3)/2), donde n es el número de lados del polígono. Si a partir de cada uno de los n vértices pueden trazarse n - 3 diagonales y como la diagonal que va de un vértice A a otro B y la que viene de ese vértice B de regreso al vértice A son la misma diagonal, se divide por dos para evitar contar esta diagonal dos veces.

 

LadoL: es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.

 

Vértice, A, B, C, ...: el punto de unión de dos lados consecutivos.

 

Perímetro, P: es la suma de todos sus lados.

 

Ángulo central, AC: es el formado por los segmentos de rectas que parten del centro a los extremos de un lado; este se determina dividiendo 360º por el número de lados del polígono AC = 360º/n.

 

Ángulo interiorAI: es el formado por los lados consecutivos; este se determina restando de 180 grados sexagesimales el ángulo central AI = 180º-AC.

 

Ángulo exterior, AE:  es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo o podemos calcularlo aplicando la formula AE = 180º - AI.

 

Poliedros

 

Existe la posibilidad de configurar polígonos en más de dos dimensiones. Un polígono en tres dimensiones se denomina poliedro, en cuatro dimensiones se llama polícoro, y en n dimensiones se denomina politopo.

 

Construcción de un polígono de n lados inscrito en una circunferencia. 

Construcción de un polígono de n lados inscrito en una circunferencia

 

 

Esta construcción tambien podria denominarse "División de la circunferencia en un numero n de partes iguales".

 

1.- Se toma el diámetro AM y se divide en tantas partes como lados tenga el polígono deseado, según el procedimiento de división de un segmento en un número de partes iguales descrito en articulo relativo a proporcionalidad

 

2.- Desde A y M se trazan dos arcos de radio AM que se cortan el el punto P. 

 

3.- Se une el punto P con la segunda división del segmento AM, obteniendose en punto B. Según que división se tome, inferior o superior, la orientación del polígono será una u otra. 

 

4.- Llevando la medida del lado AB sobre la circunferencia tantas veces como sea necesario se obtiene el polígono deseado. 

 

 

 

 

 

Construcción de un pentágono regular conocido el lado. 

Construcción de un pentágono regular conocido el lado

 

 

 

1.- Se traza la mediatriz del segmento y una perpendicular a el por uno de sus extremos B. 

 

2.- Con centro en B y radio AB se traza un arco que corta a la perpendicular del extremo B en un punto N. 

 

3.- Con centro en M, punto medio de AB, y radio MN se traza otro arco de que corta a la prolongación del segmento AB en P. 

 

4.- Con centros A y B y radio AP se trazan dos arcos que se cortan en el punto D, vértice superior del pentágono buscado. 

 

5.- Llevando la medida del segmento AB desde D, o desde A y B se obtienen los demás vértices del pentágono. 

 

 

Construcción de un hexagono regular conocido el lado. 

Construcción de un hexagono regular conocido el lado

La construcción del hexagono regular se hace de manera muy sencilla conociendo la propiedad que dice que el lado del hexagono regular es igual a radio de la circunferencia circunscrita e el. 

 

Por tanto, en el primer caso, solo hay que dibujar la circunferencia de radio AB e ir llevando sobre esta la medida del lado. 

 

En el segundo caso se halla en centro O de la circunferencia inscrita al hexagono para después ir llevando la medida del lado. 

 

 

Construcción de polígonos regulares de n x 2, n x 4, n x 8..., lados conocido este.

Construcción de polígonos regulares de n x 2, n x 4, n x 8..., lados conocido este

Observando la figura se se puede ver que si tenemos un polígono de n lados, de lado AB, inscrito en una circunferencia, y desde el cuadrante superior de esta circunferencia se traza la circunferencia que pasa por los dos puntos A y B del lado del polígono, se obtiene otra circunferencia que es la inscrita del polígono de nx2 lados, de longitud también AB. Repitiendo en proceso en numero de lados ira creciendo en progresión geometrica ni=n(2i), siendo n el numero de lados del poligono de partida.

 

Las sucesivas circunferencias que se vayan dibujando por el procedimiento descrito anteriormente forman un Haz de circunferencias corradicales, siendo el lado AB el eje radical comun a todas ellas.

 

Por tanto si se quiere dibujar, por ejemplo, el polígono de 12 lados de longitud AB, un método sencillo sería construir el triángulo equilátero de lado AB, a continuación la circunferencia que circunscribe al hexagono y después la que circunscribe al dodecágono.

 

 

Construcción de un polígono de n lados conocido el lado.

Construcción de un polígono de n lados conocido el lado

 

 

 

1.- El primer paso consiste en  dibujar un polígono cualquiera con el mismo número de lados que el deseado, según el procedimiento descrito el el primer ejercicio.

 

2.- Se toma por ejemplo el lado AB, se traza su mediatriz, y a una distancia cualquiera se coloca la medida del segmento dado como lado de manera que quede paralelo al lado del polígono y su punto medio esté en la mediatriz.

 

3.- Desde los puntos A′ y B′. se trazan dos perpendiculares al lado del polígono. Estas dos lineas cortan a las dos diagonales que pasan por los vértices del lado y el centro del polígono en los puntos P y Q, que forman el lado del polígono deseado.

 

4.- Trazando paralelas al polígono inicial o llevando la distancia PQ del lado del polígono dado se obtiene el polígono pedido.


 

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