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Tangencias

 

Para comenzar el estudio de las tangencias recordaremos primero las diferentes posiciones relativas entre rectas y circunferencias, vistas en el artículo correspondiente a circunferencia y circulo, que nos produciran los distintos casos, y veremos también algunos problemas comunes de resolución no demasiado compleja. Para profundizar más en el tema se recomienda consultar el capítulo de relaciones constantes en la circunferencia y el articulo sobre el estudio sistematico de tangencias de los diez problemas de Apolonio. La transformación geométrica denominada inversión tambien es muy util si se aplica al trazado de tangencias.

 

El estudio de tangencias es muy importante dentro del Dibujo Tecnico para la realizacion de enlaces entre lineas y arcos, construcciones geométricas usadas en el diseño de infinidad de objetos. Los tipos de enlaces más comunes se veran en el articulo siguiente a este.

 

Posición relativa de una recta y una circunferencia

 

Una recta y una circunferencia de un plano pueden ocupar estas tres posiciones que mutuamente se excluyen:

 

a) Exterior. Se dice que una recta es exterior a una circunferencia cuando su distancia al centro es mayor que el radio de la circunferencia: no tienen ningún punto común.

 

b) Secante. Es secante cuando la distancia del centro a la recta es menor que el radio: tiene dos puntos comunes, o corta a la circunferencia en dos puntos.

 

c) Tangente. Es tangente cuando la distancia de la recta al centro de a circunferencia es igual al radio: tienen un punto común, se tocan en un único punto llamado punto de tangencia. Para que una recta sea tangente a una circunferencia, es necesario y suficiente que sea perpendicular a un radio en su extremo.

 

Posiciones relativas de dos circunferencias. 

 

Dos circunferencias de un mismo plano pueden ser:

 

a) Exteriores, cuando no tienen ningún punto común; la distancia de los centros es mayor que la suma de sus radios.

 

b) Concéntricas, cuando las dos circunferencias tienen el mismo centro.

 

c) Secantes, cuando circunferencias tienen dos puntos comunes; la distancia de los centros es menor que la suma de sus radios.

 

d) Tangentes, Cuando tienen un punto común. El punto común se llama punto de tangencia.

 

En dos circunferencias tangentes la línea de centros pasa siempre por el punto de contacto.

 

Las tangentes son interiores cuando la distancia de sus centros es igual a la diferencia de sus radios.

 

Las tangentes son exteriores cuando la distancia de sus centros es igual a la suma de sus radios.

 

Determinación de puntos de Tangencia.

 

 

Los puntos de tangencia entre rectas y arcos de circunferencia se determinan de la forma siguiente:

 

- Entre una recta y un arco el punto de tangencia siempre se situa en la perpendicular a la recta que pasa por el centro del arco. Si observamos la figura el arco capaz verifica la perpendicularidad y por tanto se convierte en una construcción muy util para el trazado de tangentes

 

- Entre dos arcos de circunferencia el punto de tangencia siempre se situa en la linea que une los dos centros. Si observamos los otros dos puntos de tangencia con las rectas se obtienen trazando perpendiculares a las rectas desde el centro del arco.

 

 

 

 

 

 

 

 

Ejemplos de tangencias

 

Trazar una recta tangente a una circunferencia por un punto de ella. 

 

 

 

1.- Se une el punto P con el centro de la circunferencia. 

 

2.- Por el punto P se traza una perpendicular a la recta anterior resultando tangente a la circunferencia. 

 

 

 

 

 

Trazar rectas tangentes a una circunferencia por un punto exterior a ella. 

 

 

 

1.- Se une el punto P con el centro de la circunferencia. 

 

2.- Hallando la mediatriz de OP se obtiene el punto M. 

 

3.- Se traza en arco con cetro M y radio MO que cortará a la circunferencia en los dos puntos de tangencia T y T′. 

 

4.- Se une P con los puntos T y T′ resultando dos rectas tangentes a la circunferencia 

 

 

 

 

 

 

Trazar las rectas tangentes exteriores comunes a dos circunferencias. 

 

1.- Se unen los centro de la circunferencias. Desde el centro de la circunferencia de mayor radio se traza otra circunferencia de radio igual a la diferencia de los dos radios. 

 

2.- Hallando la mediatriz de OO′ se obtiene el punto M. 

 

3.- Se traza en arco con cetro M y radio MO que cortará a la circunferencia dibujada en el primer paso en dos puntos P y Q. 

 

4.- Uniendo P y Q con el centro O y prolongando las lineas se obtienen los dos puntos de tangencia R y S en la 1º circunferencia. Si desde O′ se trazan paralelas a lo  dos segmentos anteriores se obtienen los otros dos puntos de tangencia T y U. 

 

5.- Los segmentos RT y SU resultan tangentes exteriores a las dos circunferencias. 

 

 

 

Trazar las rectas tangentes interiores comunes a dos circunferencias. 

El proceso de construcción es casi idéntico al del caso anterior. La única diferencia consiste en que la circunferencia auxiliar en este caso tiene un radio igual a la suma de los dos radios dados.

 

 

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