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Superficies tóricas. El toro circular.

 Si una cónica gira alrededor de una recta de su plano, paralela a uno de sus ejes, se engendra el toro circular (o simplemente toro), elíptico, parabólico o hiperbólico, según la naturaleza de la cónica. En adelante nos referiremos exclusivamente al toro circular.

El centro de la circunferencia en su giro alrededor del eje describe una circunferencia denominada circulo medio. En función de la posición de la circunferencia generatriz con respecto al eje surgen tres tipos distintos de toro circular:

a) Si la circunferencia es exterior al eje, el toro se llama abierto.

b) Si la circunferencia es tangente al eje, el toro se llama de garganta nula.

c) Si la circunferencia es secante respecto al eje, el toro es cerrado.

Secciones planas del toro circular.

 

Secciones del toro circular por planos paralelos al eje.

Secciones por planos paralelos al eje.

 - Si el plano pasa por el eje la eje del toroide (α) resultan dos circunferencias.

- Si el plano es secante al círculo de garganta (β) resultan dos curvas cerradas con forma de ovalo.

- Si el plano es tangente al círculo de garganta (γ) resulta una curva única con forma de ocho con un punto doble.

- Si el plano pasa por la sección (δ), intermedia de (γ) y (θ) resulta una curva única cerrada curva cerrada (Fig. c), con cuatro puntos de inflexión. Si esta sección fuese tangente a las dos esferas inscritas (para ello en circulo de garganta de la figura debe ser menor que las esferas inscritas), la sección es un óvalo de Cassini. Y si el radio fuera tangente a las dos esferas inscritas una lemniscata de Bernouilli (caso particular del ovalo de Cassini)

- Si el plano es tangente al círculo medio (θ) resulta una curva cerrada parecida un una elipse.

- Si el plano es exterior al círculo medio (π) resulta curvas parecidas a las anteriores cada vez más pequeñas hasta reducirse a un punto de tangencia en el plano (φ) tangente al ecuador.

Secciones por planos bitangentes.

 Un plano secante y tangente al toro en dos puntos distintos, corta al toro según dos círculos (teorema de Villarceau). Las propiedades más importantes de estos círculos, llamados círculos de Villarceau, son:

1°. Son iguales al círculo medio del toro.

2°. Sus proyecciones ortogonales sobre planos normales al eje del toro son dos elipses de eje mayor igual al diámetro del circulo medio, y un foco incidente con la traza del eje con el plano de proyección.

3°. Cortan a los meridianos bajo un ángulo constante (teorema de Schoelcher), es decir, son curvas loxodrómicas del toro.

4°. Toda esfera bitangente a un toro lo corta según dos círculos de Villarceau.

5°. El toro es engendrado por la rotación de uno de ellos.

6°. Los únicos círculos reales que pueden trazarse sobre un toro son los paralelos, los meridianos y los círculos de Villarceau. Se exceptúan los toros cerrados o de círculo de garganta nulo, en los que no existen planos bitangentes ni círculos de Villarceau.

Generación de secciones con AutoCAD^®.

Secciones por planos paralelos al eje.

El video muestra como obtener de forma sencilla las secciones planas paralelas al eje de un toro circular en AutoCAD^® empleando dos metodos distintos. El primero con el comando INTERFERENCIA, y el segundo metodo usando los comandos PLANOSECCION y SECCIONAUTO.

Secciones por planos bitangentes.

En este otro ejemplo se obtiene la sección del toro por un plano bitangente haciendo uso nuevamente del comando INTERFERENCIA. En ella se pueden observar los circulos de Villarceau.

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