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Afinidad.

 

Transformación geométrica que a cada punto le asocia un punto, a cada recta una recta, y en general, a cada figura plana otra figura plana. Podria decirse que es una homología donde el vertice o centro de homología se convierte en un punto impropio (en el infinito) que define la direccion de afinidad. 

 

Elementos:

 

- El eje. Recta donde concurren las parejas de rectas afines.

 

- Dirección de afinidad. Recta definida por una pareja de puntos afines. Si la dirección es perpendicular al eje se le llama afinidad ortogonal. Cuando no lo es se llama afinidad oblicua.

 

Si tenemos una afinidad definida por un eje y una pareja de puntos afines, A y A’, para hallar el afín de un punto B unimos A y B mediante una recta r hasta cortar al eje en el punto O, que unido con A’ define la recta r’ afín de r. La intersección de r’ con la paralela a la dirección de afinidad trazada por B determina el punto B’.

 

 

En esta figura tenemos una afinidad definida por un eje y una pareja de puntos afines, A y A’. Se trata de hallar la figura afín del triángulo ABC. El proceso es igual que en el caso anterior, se halla la recta A’C’, y la recta B’C’ afines de AC y BC respectivamente, obteniendo el triángulo A’B’C’.

 

 

 

 

 

Propiedades:

 

1.- La afinidad conserva el paralelismo. Rectas paralelas pertenecientes a una figura tienen por afines a rectas paralelas en la otra.

 

2.- Las magnitudes relativas se conservan en la afinidad. Sean los segmentos AB y su afín AB’, se cumple que el punto medio M del segmento AB tiene por afín el punto medio M’ del segmento AB’.

3.- Si una recta r es paralela al eje, la afín resulta también paralela a dicho eje. 

 

Formas de definir una afinidad.

 

1.- Por el eje y una pareja de puntos afines.

El proceso ya se ha visto en el apartado de definición de afinidad.

 

2.- Por tres parejas de puntos afines.

 

 

3.- Mediante dos parejas de puntos afines A, B, A’ y B’ y la dirección D del eje de afinidad.

 

 

4.- Mediante el eje, la dirección y la razón o característica de la afinidad

 

La razón de afinidad es el cociente entre los segmentos AM y AM’, donde A y A’ son una pareja de puntos afines y M es el corte de la recta AA’ con el eje.

En el ejemplo se desea obtener el afín de A, y partimos de la dirección de afinidad, el eje y la razón de afinidad K = -2.

 

Por A trazamos una paralela a la dirección de afinidad que corta al eje en el punto M. Aplicando la formula anterior sabemos que el punto A’ estará sobre la recta inicialmente trazada y a doble distancia de M que el punto A. El signo negativo nos indica que ambos puntos afines están a distinto lado respecto del eje.

 

Afinidad ortogonal de una circunferencia definida por el eje y una pareja de puntos ames O y O’.

 

Afinidad oblicua de la circunferencia.

 

Si deseamos obtener los ejes de la elipse afín, es preciso realizar una construcción especial.

 

 

1.- Hallamos la mediatriz del segmento definido por la pareja de puntos afines OO’, que cortara al eje en el punto M, desde el que hacemos centro para trazar una circunferencia de radio MO=MO’, que cortara el eje en los puntos N y P, que unidos mediante dos rectas con O definen la pareja de diámetros perpendiculares de la circunferencia que se transforman por afinidad en los ejes de la elipse.

 

El resto del proceso es igual que en los casos anteriores.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EJEMPLOS DE APLICACION DE AFINIDAD.

 

Dado un triangulo ABC y el eje de afinidad ortogonal, establecer la pareja de puntos afines que transforma la figura dada en un triangulo rectangulo en A.

 

1.- Se prolongan los lados AB y AC hasta cortar al eje en los puntos M y N. Se halla el arco capaz del segmento MN. La perpendicular al eje desde el punto A corta al arco capaz en el punto A’, con lo que se consigue que las rectas afines de AB y AC formen 90º.

 

2.- Con perpendiculares desde los puntos B y C se obtienen B’ y C’.

 

 

 

 

 

Dado un paralelogramo ABCD y el eje transformarlo por afinidad en un cuadrado.

 

 

1.- Las rectas AB y AD deben formar ángulo de 90º en la figura afín, por tanto, el punto A’ estará en el arco capaz de 90° de los puntos M y N de corte de la prolongación de dichos lados con el eje.

 

2.- Además sabemos que la diagonal debe formar 45° con los lados en el punto A, por eso el afín de A estará también en el arco capaz de 45° de los punto M y Q. Obtenemos el punto A’ en la intersección de los dos arcos capaces.

 

3.- Los dos primeros lados los conseguimos uniendo A’ con M y N.

 

4.- La dirección de la afinidad la tenemos uniendo A y A’. Se obtienen B’ y D’.

 

5.- Se obtiene el último punto C’ trazando la recta afín a BC, y con la paralela a la dirección de afinidad desde C.

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