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La Hiperbola

Propiedades: 

 

- Curva plana, abierta de dos ramas cuyos puntos constituyen un lugar geométrico con la propiedad de que la diferencia de distancias a otros dos fijos llamados focos es siempre constante e igual a 2a=AB, longitud del eje real r-r’=2a.

- El eje mayor AB se llama eje real, se representa por 2a.

 

- El eje menor CD se representa por 2b y se llama eje imaginario porque no tiene puntos comunes con la curva.

 

- Los focos están en el eje real, la distancia focal F-F’ se representa por 2c.

 

- Entre a, b, y c existe la relacion: a²=b²+c²

 

- La excentricidad e=c/a    1

 

- La circunferencia principal tiene por centro O y radio a, y es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentes.

 

- Las circunferencias focales tienen por centro los focos y radio 2a. La hipérbola, como la elipse, puede definirse como el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.

 

 

 

 

 

 

- La tangente en un punto de la hipérbola es la bisectriz de los radios vectores.

 

También se puede conseguir la tangente utilizando la circunferencia principal. Si desde el punto medio de los radio vectores dibujamos circunferencias de diámetro PF y PF’, estas son tangentes a la circunferencia principal. Uniendo esos dos puntos de tangencia se consigue la tangente.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- Las asíntotas de la hipérbola son las tangentes a la curva en los puntos del infinito. Estas son simétricas respecto de los ejes y pasan por el centro de la curva. Si las asíntotas están a 45° se llama hipérbola equilátera.

 

Se obtienen trazando tangentes a la circunferencia principal y una focal. Estas tangentes pasan por el otro foco, y las mediatrices de los segmentos F’T1 y F’T2 son las asíntotas de la hipérbola.

 

También como indica la figura de abajo.

 

 

Construcción de la hipérbola por puntos a partir de los ejes.

 

 

Se conocen 2a=AB y 2c=FF’

 

1-Se toma un punto cualquiera en el eje real. Con radio AN y desde el foco se traza un arco. Con radio BN desde el otro foco se traza otro arco que corta con el anterior en un punto de la hipérbola ya que AN - BN = AB.

 

2-Se repite el proceso con el punto P.

 

3-Se repite el proceso con el punto Q.

 

4-Se repite el proceso con el punto U.

 

 

Construcción de la hipérbola por haces proyectivos.

 

 

Se conocen 2a=AB y 2c=FF’.

 

1-Se halla un punto cualquiera P de la curva con el método anterior y se construye el rectángulo BMPN.

 

2-Se dividen los lados MP y PN en un n° cualquiera de partes iguales, según el procedimiento de división de un segmento en un número de partes iguales descrito en articulo relativo a proporcionalidad.

 

3-Las divisiones del segmento MP se unen con B.

 

4-Las divisiones del segmento PN se unen con F. De esta manera se van obteniendo puntos de la hipérbola.

 

5-La parte inferior de la curva se construye de la misma manera.

 

 

 

 

 

Trazado de la hipérbola por envolventes.

 

 

Se conocen 2a=AB y 2c=FF’.

 

1-Se construye la circunferencia principal.

 

2-Al igual que en la elipse basta con tomar puntos en la circunferencia, unirlos con el foco y trazar las correspondientes perpendiculares que son tangentes a la curva.

 

Repitiendo la operación se obtienen una serie de tangentes que van envolviendo la curva.

 

 

 

 

 

Tangente a la hipérbola desde un punto exterior.

 

 

1-Se dibuja una circunferencia con centro P y que pase por uno de los focos, y la circunferencia focal del otro foco.

 

2-Estas dos circunferencias se cortan en 1 y 2, que tenemos que unir con el foco por el que pasa la circunferencia.

 

3-Las mediatrices de los segmentos 1-F’ y 2-F’ pasan por el punto P y son tangentes a la hipérbola.

 

4-Uniendo los puntos 1 y 2 con el centro de la circunferencia focal se obtienen los puntos de tangencia

 

 

 

 

 

Tangentes a la hipérbola paralelas a una dirección dada.

 

 

1-Desde uno de los focos se traza una perpendicular a la dirección dada la cual corta a la circunferencia focal del otro foco en dos puntos 1 y 2.

 

2-Las mediatrices de los segmentos F’-1 y F’-2 son las tangentes paralelas a la dirección dada.

 

3-Los puntos de tangencia se obtienen uniendo el otro foco con los puntos 1 y 2.

 

 

 

 

 

 

Puntos de intersección de una recta con la hipérbola.

 

 

1-La hipérbola se define como el lugar geométrico de los puntos que son centros de circunferencias tangentes a una focal y que pasan por el otro foco, si hallamos el punto F1’ simétrico del F respecto de la recta r, los centros de las circunferencias que pasan por esos dos puntos y que son tangentes a la circunferencia focal del otro foco serán los puntos de intersección de la recia con la hipérbola.

 

2-Para trazar las dos circunferencias tangentes a la circunferencia focal y que pasen por F’ y F1’ se realiza con uno de los casos de Apolonios obteniéndose O1 y O2.

 

3-Los centros de las circunferencias O1 y O2 son los puntos de intersección de la recta con la hipérbola.

 

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