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Homología.

Transformación en la que a cada punto se le asocia un punto, a cada recta una recta y, en general, a cada figura plana otra figura plana. 

 

Elementos:

 

- Centro. Punto por el que pasan todas las rectas que unen las parejas de puntos homólogos.

 

- Eje. Recta en cuyos puntos concurren las parejas de rectas homologas; es una recta doble, por coincidir con su transformada, y de puntos dobles, por coincidir cada punto con su homologo.

 

- Las rectas limites. Aquellas que manteniéndose paralelas al eje, tienen por homólogos a puntos del infinito.

 

Rectas limites:

 

-Lugar geométrico de los puntos que son homólogos de los del infinito.

 

-Dadas dos figuras F y F’, cada una de ellas tiene una recta limite. Los puntos del infinito de la figura F’(como H’∞ y M’∞) están en RL’, recta límite de la figura F. Los puntos del infinito de la figura F (como S∞ y N∞) están en RL, recta límite de la figura F’.

 

-Las dos rectas limites son paralelas al eje y la distancia de O a RL’ es igual a la distancia del eje a RL. d=d’

 

 

Para obtener las rectas limites a partir de una pareja de puntos homólogos A-A’ y B-B’, de la definición de recta limite se sabe que la homologa de la recta AB tendrá un punto N’ en el infinito, para encontrar el homologo de N’ trazamos por C una paralela a A’-B’ y donde corte con A-B estará el punto N de la recta limite.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Formas de definir una homología:

 

1.-El centro, el eje y dos puntos homólogos A y A’.                                    2.-El centro O, el eje y la recta límite de la figura                                                                                                                                                que se busca.

 

3.-El centro y las dos rectas limites.                                                            4.-Dos pares de homólogos y la dirección del eje.

Una vez encontrado el eje se reduce al caso anterior.

 

 

Propiedades:

 

1.-Las homologas de rectas paralelas al eje mantienen dicho paralelismo a la recta doble de puntos dobles (eje).

 

2.-Las rectas r y s concurrentes en un punto P de su recta limite tienen por homologas a rectas paralelas r’ y s’.

 

 

3.-Las rectas paralelas tienen por homologas a rectas concurrentes en un punto de la otra recta limite.

 

 

4.-La recta limite RL’ está constituida por los puntos de la figura original cuyos homólogos están en el infinito de la figura transformada.

 

5.-La recta limite RL está constituida por los puntos de la figura transformada cuyos homólogos están en el infinito de la figura original.

 

6.-La distancia del centro a una recta límite es igual a la distancia del eje a la otra, quedando las dos rectas limites en el espacio comprendido entre el centro y el eje, o fuera de dicho espacio.

 

 

7.-La polaridad se conserva.

 

8.-En una circunferencia perteneciente a la figura original, el polo correspondiente a la recta limite RL’ tiene por transformado al centro de la canica homologa.

Se recuerda que en una elipse el centro es el polo de la recta del infinito.

 

9.-La tangencia se conserva.

 

 

1.-Podemos trazar desde un pto. A cualquiera de la recta limite RL’ rectas tangentes a la circunferencia r y s, y obtener sus homologas r y s’.

 

2.-Unimos los ptos. de tangencia M y N mediante una recta que corta a la RL en B, punto desde el que trazamos dos nuevas tangentes u y y cuyas homologas u’ y y’ forman junto con r’ y s’ un paralelogramo.

 

3.-Los ptos. medios de los lados del paralelogramo son los homólogos de los ptos. de tangencia de la circunferencia, y representan los extremos de los diámetros conjugados definidores de la elipse.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.-Las magnitudes relativas no se conservan, a diferencia de lo que ocurre en la afinidad.

 

11.-Se llama característica de una homología al valor K de la razón doble K(O,M,A,A’)(AA’OM), siendo O el centro de la homología, A y A’ la pareja de puntos homólogos, y M el punto de corte de la recta OAA’ con el eje de homología. 

 

Transformación homológica de un triangulo en un triangulo equilátero

 

 

1.-En el triangulo equilátero todos los ángulos son de 60º, por tanto para que nuestra figura homologa sea un triangulo equilátero el centro de homología formara 60º con los ptos. MN y NP.

 

2-Se construyen los dos arcos capaces de 60º entre MN y NM. El punto de intersección de ambos será el centro de homología.

 

3-Con estos datos se construye la figura homologa del triangulo ABC que resulta ser el triangulo 
equilátero A’B’C’.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Transformación homológica de un cuadrilátero en un cuadrado

 

 

1.-Al ser la figura homologa un cuadrado sus lados serán paralelos, por tanto al prolongar los lados de la figura original se cortaran en dos puntos L y N que pertenecen a la recta limite. El eje de la homología será paralelo a esta recta límite a una distancia arbitraria.

 

2.-Para obtener el centro de homología como los lados del cuadrado forman 90° entonces sabemos que estará en el arco capaz de 90° que forman los puntos L y N. Como sabemos también que las diagonales formaran también 90° el arco capaz de los puntos M y P prolongación de las diagonales cortara con el otro arco en O, centro de la homologia.

 

3.-Con estos datos construimos la figura homologa del cuadrilátero ABCD que resultara el cuadrado A’B’C’D’.

 

Para convertir la figura original en un rectángulo nos bastaría solo con la condición de paralelismo de los lados, con centro de homología en un pto. cualquiera del primer arco capaz conseguiríamos como figura homologa un rectángulo. 

 

 

Transformacion homologica de la circunferencia en elipse.

 

La figura homologa de una circunferencia se convierte en una elipse cuando la circunferencia no tiene ningún punto de contacto con la recta limite, ya que si los tuviese sus homólogos estarían en el infinito y la elipse es una curva cerrada que no tiene puntos impropios.

 

Los puntos de intersección de la circunferencia con la elipse J y K son dobles y por lo tanto pertenecen también a la elipse.

 

Los elementos de la homología que tenemos son en centro O, la recta limite RL’ y el eje.

 

 

1.-Tomamos un pto. M de la recta limite y trazamos dos tangentes a la circunferencia que pasan por los ptos. T1 y T2. La recta T1-T2 cortara a la recta limite en otro punto N.

 

2.-Desde N se trazan las dos tangentes a a circunferencia que pasaran por T3 y T4. La recta T3-T4 pasara por el pto. M que habíamos tomado al principio.

 

3.-Se hallan la rectas homologas de M-1 y M-2 y los ptos. T1’ y T2’.

 

4.-Se hallan la rectas homologas de N-4 y N-5 y los ptos. T3’ y T4’.

 

5.-Se hallan la rectas homologas de M-6 y N-3, que nos darán las direcciones de los ejes conjugados de la elipse y el centro de la elipse, que será la intersección de ambas. Al final hemos obtenido un paralelogramo en el que los ptos. medios de sus lados son los extremos de los diámetros conjugados y en el que estará inscrita la elipse.

 

Transformación homológica de la circunferencia en parábola.

 

Los elementos de la homología que tenemos son en centro O, la recta limite RL’ y el eje.

 

La figura homóloga de una circunferencia se convierte en una parábola cuando la circunferencia tiene un solo punto de contacto con la recta limite, ya que la curva que tiene un pto. impropio, es decir, una rama, como la parábola.

 

1.-Se une el centro de homología O con el pto. de tangencia T de la circunferencia con la recta limite. Como el homologo de T esta en el infinito por estar T en la recta limite, la recta O-T será la dirección del eje de la curva. Como la tangente en el vértice ha de ser perpendicular al eje de la parábola, trazando por O perpendicular a O-T obtenemos la dirección de la tangente en el vértice.

O-T => DIRECCION DEL EJE DE LA PARABOLA. 
O-N => DIRECCION DE LA TANGENTE EN EL VERTICE.

 

2.-Desde N se traza la tangente a la circunferencia que pasa por el pto. V, cuyo homólogo será el vértice de la parábola V’.

 

3.-Por V’ pasara el eje de la parábola que será paralelo a O-T.

 

4.-Para obtener el foco se trazan las tangentes a la circunferencia desde O que pasan por 1 y 2, y donde cortan con la tangente en el vértice se traza la perpendicular hasta que corta al eje en un punto. Se puede hacer la tangente por cualquier lado, el resultado es el mismo. 
Con los datos que disponemos ya se puede dibujar la parábola por cualquiera de los métodos que hay.

 

5.-Ademas como la tangencia se conserva los puntos 1 y 2 tangentes a la circunferencia tendrán como homólogos a 1 ’ y 2’ que serán tangentes a la parábola.

 

 

Transformación homológica de la circunferencia en hipérbola.

 

Los elemento de la homología que tenemos son en centro O, la recta limite RL’ y el eje.

 

La figura homóloga de una circunferencia se convierte en una hipérbola cuando la circunferencia corta a la recta limite, ya que la curva que tiene dos ptos. impropios, es decir, dos ramas, como la hipérbola.

 

1.-Los ptos. de corte de la circunferencia con RL’ son T1 y T2, por ellos se trazan las dos tangentes que se cortaran en O”. Estas dos rectas como, como en homología se conserva la tangencia, serán también tangentes a la hipérbola en los ptos. T1’ y T2’, situados en el infinito. Por tanto las rectas homologas a estas dos tangentes serán las tangentes a la hipérbola en los ptos. del infinito, es decir, las asíntotas. Estas asíntotas se cortan en O’, centro de la hipérbola. O, O’ y O” deben estar alineados ya que O’ y O” son homólogos.

 

2.-Las bisectrices de las asíntotas son los ejes de la hipérbola. El eje real de la hipérbola corta en 3 al eje de homología, por tanto la recta homologa del eje real O” será 3-O”, que cortara a la circunferencia en dos puntos A y B cuyos homólogos serán los vértices A’ y B’ de la parábola.

 

3.-Los focos se obtienen trazando por B’ (o A’) la perpendicular al eje real hasta que corte a la asíntota en un pto. H. La distancia de O’ (centro de la hipérbola) a H O’ H = c, distancia focal. Esta distancia se lleva sobre el eje real de la hipérbola y obtenemos los focos.

 

Con los datos que tenemos ya se puede dibujar una hipérbola por cualquiera de los métodos que existen.

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